Juhuslik muutuja on statistilise katse tulemuse numbriline kirjeldus. Juhuslik muutuja, mis võib eeldada ainult lõplikku arvu või lõpmatu väärtuste jada on diskreetne; öeldakse, et pidev on see, mis võib reaalarvureal võtta mis tahes intervallis mis tahes väärtuse. Näiteks oleks juhuslik muutuja, mis tähistab ühel päeval konkreetses esinduses müüdud autode arvu, diskreetne, juhuslik muutuja, mis tähistab inimese kaalu kilogrammides (või naelades), oleks pidev.
Juhusliku muutuja tõenäosusjaotus kirjeldab, kuidas tõenäosused jaotuvad juhusliku muutuja väärtuste vahel. Diskreetse juhusliku muutuja korral x , tõenäosuse jaotuse määratleb tõenäosuse massi funktsioon, mida tähistatakse f ( x ). See funktsioon annab juhusliku muutuja iga väärtuse tõenäosuse. Diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusfunktsiooni väljatöötamisel peavad olema täidetud kaks tingimust: (1) f ( x ) peab olema juhusliku muutuja iga väärtuse puhul negatiivne ja (2) juhusliku muutuja iga väärtuse tõenäosuste summa peab olema võrdne ühega.
Pidev juhuslik muutuja võib saada mis tahes väärtuse reaalarvude rea intervallides või intervallide kogumis. Kuna suvalises intervallis on lõpmatu arv väärtusi, pole mõttekas rääkida tõenäosusest, et juhuslik muutuja saab konkreetse väärtuse; selle asemel võetakse arvesse tõenäosust, et pidev juhuslik muutuja jääb antud intervalli piiresse.
Pideval juhul on tõenäosusmassi funktsiooni vaste tõenäosustiheduse funktsioon, mida tähistatakse ka tähisega f ( x ). Pideva juhusliku muutuja jaoks annab tõenäosustiheduse funktsioon funktsiooni kõrguse või väärtuse mis tahes konkreetse väärtuse korral x ; see ei anna otseselt juhusliku muutuja konkreetse väärtuse omandamise tõenäosust. Kuid graafiku all olev ala f ( x ), mis vastab mõnele intervallile, mis on saadud integraali integraali arvutamisel f ( x ) annab selle intervalli jooksul tõenäosuse, et muutuja saab selle intervalli väärtuse. Tõenäosustiheduse funktsioon peab vastama kahele nõudele: (1) f ( x ) ei tohi olla juhusliku muutuja iga väärtuse puhul negatiivne ja (2) lahutamatu juhusliku suuruse kõigi väärtuste puhul peab see olema võrdne.
Juhusliku suuruse eeldatav väärtus või keskmine - tähistatud tähisega ON ( x ) või μ - on kaalutud keskmine väärtustest, mida juhuslik muutuja võib eeldada. Diskreetsel juhul on kaalud antud tõenäosuse massifunktsiooni abil ja pideval juhul kaalude tõenäosuse tiheduse funktsioon. Diskreetsete ja pidevate juhuslike muutujate eeldatavate väärtuste arvutamise valemid antakse vastavalt võrranditega 2 ja 3.
ON ( x ) = Σ x f ( x ) (kaks)
ON ( x ) = ∫ x f ( x ) d x (3)
Juhusliku suuruse dispersioon, mida tähistatakse Var ( x ) või σkaks, on ruutu kõrvalekallete kaalutud keskmine keskmisest. Diskreetsel juhul on kaalud antud tõenäosuse massifunktsiooni abil ja pideval juhul kaalude tõenäosuse tiheduse funktsioon. Diskreetsete ja pidevate juhuslike muutujate erinevuste arvutamise valemid antakse vastavalt võrranditega 4 ja 5. The standardhälve , tähistatud σ, on dispersiooni positiivne ruutjuur. Kuna standardhälvet mõõdetakse juhusliku muutujaga samades ühikutes ja dispersiooni mõõdetakse ruutude ühikutes, on sageli eelistatud mõõt standardhälve.
Kus ( x ) = σkaks= Σ ( x - μ)kaks f ( x ) (4)
Kus ( x ) = σkaks= ∫ ( x - μ)kaks f ( x ) d x (5)
Kaks kõige sagedamini kasutatavat diskreetset tõenäosuse jaotust on binoom ja Poisson. Binoomse tõenäosuse massifunktsioon (võrrand 6) annab tõenäosuse, et x aastal saabub edu n binoomkatse katsed.
Binoomkatsel on neli omadust: (1) see koosneb järjestusest n identsed katsed; (2) igal katsel on võimalikud kaks tulemust - õnnestumine või ebaõnnestumine; (3) mis tahes katse edukuse tõenäosus, tähistatud lk , ei muutu kohtuprotsessist; ja 4) katsed on sõltumatud. Oletame näiteks, et on teada, et 10 protsendil kaheaastaste autode omanikest on olnud probleeme oma auto elektrisüsteemiga. 10 omaniku rühmast täpselt 2 omaniku leidmise tõenäosuse arvutamiseks, kellel on olnud elektrisüsteemiprobleeme, saab kasutada binoomtõenäosuse massi funktsiooni n = 10, x = 2 ja lk = 0,1 võrrandis 6; sel juhul on tõenäosus 0,1937.
Poissoni tõenäosuse jaotust kasutatakse sageli rajatise saabumiste arvu mudelina kindla ajavahemiku jooksul. Näiteks võib juhusliku suuruse määratleda kui telefonikõnede arvu, mis tulevad lennufirma broneerimissüsteemi 15 minuti jooksul. Kui on teada keskmine saabumiste arv 15-minutilise intervalli jooksul, saab võrrandi 7 abil saadud Poissoni tõenäosuse massifunktsiooni kasutada x saabujad.
Oletame näiteks, et 15-minutilise perioodi jooksul saabuvate kõnede keskmine arv on 10. Et arvutada tõenäosus, et järgmise 15 minuti jooksul saabub 5 kõnet, on μ = 10 ja x = 5 asendatakse võrrandis 7, saades tõenäosuseks 0,0378.
Statistikas on enim kasutatav pidev tõenäosusjaotus normaalne tõenäosusjaotus. Graafik, mis vastab normaalsele tõenäosustiheduse funktsioonile keskmisega μ = 50 ja standardhälbega σ = 5, on näidatud. Nagu kõik normaaljaotuse graafikud, on see ka kellakujuline kõver. Normaalse tõenäosusjaotuse tõenäosusi saab arvutada, kasutades statistilisi tabeleid normaalse normaalse tõenäosusjaotuse jaoks, mis on normaalne tõenäosuse jaotus, mille keskmine on null ja ühe standardhälve. Lihtsat matemaatilist valemit kasutatakse normaalse tõenäosusjaotuse keskmise μ ja standardhälbe σ väärtuse teisendamiseks vastavaks standard normaaljaotuse väärtuseks. Seejärel kasutatakse normaalse normaaljaotuse tabeleid sobivate tõenäosuste arvutamiseks.
milline majandussüsteem eksisteeris Euroopas varajases keskeas
normaalne tõenäosusjaotus Joonis 3: Normaalne tõenäosusjaotus keskmise ( μ ) 50 ja standardhälve ( σ ) / 5. Encyclopædia Britannica, Inc.
On palju muid diskreetseid ja pidevaid tõenäosuse jaotusi. Muud laialdaselt kasutatavad diskreetsed jaotused hõlmavad geomeetrilist, hüpergeomeetrilist ja negatiivset binoomi; muud tavaliselt kasutatavad pidevad jaotused hõlmavad ühtlast, eksponentsiaalset, gamma-, chi-ruut-, beeta-, t ja F.
