funktsioon , matemaatikas väljend, reegel või seadus, mis määratleb ühe muutuja (sõltumatu muutuja) ja teise muutuja (sõltuva muutuja) vahelise seose. Funktsioonid on kõikjal matemaatikas ja on olulised füüsikaliste suhete sõnastamiseks teadustes. Funktsiooni tänapäevase määratluse andis esmakordselt 1837. aastal saksa matemaatik Peter Dirichlet:
Kui muutuja Y on muutujaga nii seotud x et alati, kui sellele määratakse arvuline väärtus x , on reegel, mille kohaselt unikaalne väärtus Y on siis määratud Y öeldakse, et see on sõltumatu muutuja funktsioon x .
kes on mustade silmadega hernes
Seda suhet sümboliseeritakse tavaliselt kui Y = f ( x ). Lisaks f ( x ), muud lühendatud sümbolid nagu g ( x ) ja P ( x ) kasutatakse sageli sõltumatu muutuja funktsioonide esitamiseks x , eriti kui funktsiooni olemus on teadmata või täpsustamata.
Paljud laialt kasutatavad matemaatilised valemid on tuntud funktsioonide avaldised. Näiteks ringi pinna valem, TO = π r kaks, annab sõltuva muutuja TO (pindala) sõltumatu muutuja funktsioonina r (raadius). Matemaatikas on levinud ka rohkem kui kahte muutujat hõlmavad funktsioonid, nagu on näha kolmnurga pindala valemis, TO = b h / 2, mis määratleb TO mõlema funktsioonina b (alus) ja h (kõrgus). Nendes näidetes sunnivad füüsikalised piirangud sõltumatud muutujad olema positiivsed arvud. Kui ka sõltumatutel muutujatel lubatakse omandada negatiivseid väärtusi - seega mis tahes reaalarvu -, siis nimetatakse funktsioone reaalselt hinnatud funktsioonideks.
Ringjoone pindala valem on näide polünoomfunktsioonist. Selliste funktsioonide üldine vorm on P ( x ) = kuni 0+ kuni 1 x + kuni kaks x kaks+ ⋯ + kuni n x n ,kus koefitsiendid ( kuni 0, kuni 1, kuni kaks, ..., kuni n ) on antud, x võib olla mis tahes reaalarv ja kõik selle volitused x loendavad numbreid (1, 2, 3,…). (Kui volitused x võib olla ükskõik milline reaalarv, tulemust tuntakse kui algebralist funktsiooni.) Polünoomifunktsioone on nende mitmekülgsuse tõttu uuritud juba varasematest aegadest - praktiliselt iga reaalarvudega seotud suhet saab polünoomifunktsiooniga tihedalt lähendada. Polünoomifunktsioone iseloomustab sõltumatu muutuja suurim võimsus. Selliste jõudude jaoks ühest viieni kasutatakse tavaliselt spetsiaalseid nimesid - lineaarne, kvadraat-, kuup-, kvartika- ja kvintitsus.
Polünoomfunktsioonidele võib anda geomeetrilise kujutise analüütilise geomeetria abil. Sõltumatu muutuja x on joonistatud mööda x -telg (horisontaaljoon) ja sõltuv muutuja Y on joonistatud mööda Y -telg (vertikaalne joon). Seejärel koosneb funktsiooni graafik koordinaatidega punktidest ( x , Y ) kus Y = f ( x ). Näiteks kuupvõrrandi graafik f ( x ) = x 3- 3 x + 2 on näidatud.
kui suur on yellowstone supervulkaan
kuupvõrrand Kuupvõrrandi graafik f ( x ) = x 3- 3 x + 2. Kavandatud punktid on need, kus kumerus muutub. Encyclopædia Britannica, Inc.
Teine levinud funktsioonitüüp, mida on uuritud antiikajast alates, on trigonomeetrilised funktsioonid, näiteks patt x ja cos x , kus x on nurga mõõt ( vaata ). Perioodilise iseloomu tõttu kasutatakse trigonomeetrilisi funktsioone sageli korduva käitumise või tsükli modelleerimiseks. Nonalgebraalseid funktsioone, näiteks eksponentsiaalseid ja trigonomeetrilisi funktsioone, nimetatakse ka transtsendentaalseteks funktsioonideks.
mõne trigonomeetrilise funktsiooni graafikud Pange tähele, et kõik need funktsioonid on perioodilised. Seega korduvad siinus- ja koosinusfunktsioonid iga 2π ning tangentsiaal- ja kotangentfunktsioonid korduvad iga π. Encyclopædia Britannica, Inc.
Funktsioonide, mille muutujad on kompleksarvud, praktilisi rakendusi pole nii lihtne illustreerida, kuid siiski väga ulatuslikud. Neid esineb näiteks elektrotehnikas ja aerodünaamikas. Kui kompleksmuutuja on kujul kujutatud koos = x + i Y , kus i on kujuteldav üksus (ruutjuur −1) ja x ja Y on reaalsed muutujad ( vaata ), on keeruline funktsioon jagada reaalseteks ja kujuteldavateks osadeks: f ( koos ) = P ( x , Y ) + i Q ( x , Y ).
punkt komplekstasandil Punkt komplekstasandil. Erinevalt reaalarvudest, mis paiknevad arvjoonel ühe signeeritud (positiivse või negatiivse) arvu järgi, vajavad kompleksarvud kahe teljega tasapinda, reaalarvukomponendi jaoks ühte telge ja kujuteldava komponendi jaoks ühte telge. Ehkki keeruline tasand näeb välja nagu tavaline kahemõõtmeline tasapind, kus iga punkti määrab reaalarvude järjestatud paar ( x , Y ), punkt x + i Y on üks number. Encyclopædia Britannica, Inc.
Antud funktsioonis sõltumatute ja sõltuvate muutujate rollide vahetamisega võib saada pöördfunktsiooni. Pöördfunktsioonid teevad seda, mida nende nimi tähendab: nad tühistavad funktsiooni toimingu, et muuta muutuja algsesse olekusse. Seega, kui antud funktsiooni jaoks f ( x ) on olemas funktsioon g ( Y ) selline, et g ( f ( x )) = x ja f ( g ( Y )) = Y siis g nimetatakse pöördfunktsiooniks f ja antud märge f −1, kus kokkuleppeliselt muutujad vahetatakse. Näiteks funktsioon f ( x ) = 2 x on pöördfunktsioon f −1( x ) = x / kaks.
Funktsiooni võib määratleda võimsusjada abil. Näiteks lõpmatu seeria 
saab kasutada nende funktsioonide määratlemiseks kõigi keerukate väärtuste jaoks x . Muud tüüpi sarjad ja ka lõpmatu tooteid võib kasutada, kui see on mugav. Oluline juhtum on Fourieri seeria, mis väljendab funktsiooni siinuste ja koosinusena: 
kes on maailmasarjades mängivad karupojad
Sellised kujutised on füüsikas väga olulised, eriti laineliikumise ja muude võnkumisnähtuste uurimisel.
Mõnikord on funktsioonid kõige mugavamalt defineeritud diferentsiaalvõrrandite abil. Näiteks, Y = ilma x on diferentsiaalvõrrandi lahendus d kaks Y / d x kaks+ Y = 0, millel on Y = 0, d Y / d x = 1 millal x = 0; Y = cos x on sama võrrandi lahendus Y = 1, d Y / d x = 0 millal x = 0.
