Arvestus , matemaatika haru, mis tegeleb muutuste hetkekiiruste arvutamisega ( diferentsiaalarvutus ) ja lõpmatult paljude väikeste tegurite liitmine mõne terviku määramiseks ( integraalarvutus ). Kaks matemaatikut, inglane Isaac Newton ja sakslane Gottfried Wilhelm Leibniz, jagavad au selle eest, et nad olid 17. sajandil iseseisvalt arvutused välja töötanud. Kalkulatsioon on nüüd põhiline sissepääsupunkt kõigile, kes soovivad õppida Füüsika , keemia, bioloogia, majandus, rahandus või kindlustusmatemaatika. Arvestus võimaldab probleeme lahendada mitmekesine kui a positsiooni jälgimine kosmosesüstik või ennustada surve vee tõustes tammi taha üles ehitama. Arvutitest on saanud väärtuslik vahend kunagi võimatult raskeks peetud arvutusprobleemide lahendamiseks.
Hambakivi juured peituvad mõnes vanimas geomeetria probleemid registreeritud. Egiptuse Rhindi papüürus ( c. 1650bce) annab reeglid ringi pinna ja kärbitud püramiidi mahu leidmiseks. Vana-Kreeka geomeetrid uurisid kõverate puutujate leidmist raskuskese tasapinnalised ja kindlad kujundid ning objektide mahud, mis on moodustatud fikseeritud telje ümber erinevate kõverate abil.
Aastaks 1635 oli Itaalia matemaatik Bonaventura Cavalieri täiendanud Kreeka geomeetria rangeid tööriistu heuristiline meetodid, mis kasutasid ideed lõpmatult väikestest joonte, alade ja mahtude segmentidest. Aastal 1637 avaldas prantsuse matemaatik-filosoof René Descartes oma analüütilise geomeetria leiutise geomeetriliste kujundite algebraliste kirjelduste andmiseks. Descartes'i meetod koos iidse ideega kõveratest, mida genereerib liikuv punkt, võimaldas matemaatikutel, näiteks Newtonil, kirjeldada liikumine algebraliselt. Ühtäkki võiksid geomeetrid ületada eelmiste aegade üksikjuhtumeid ja ad hoc meetodeid. Nad võisid näha tulemuste mustreid ja oletada nii uusi tulemusi, et vanem geomeetriline keel oli varjutanud.
Näiteks Kreeka geomeeter Archimedes (287–212 / 211bce) avastati eraldiseisva tulemusena, et parabooli lõigu pindala on võrdne kindla kolmnurgaga. Kuid algebralise tähistusega, kus parabool on kirjutatud järgmiselt Y = x kaks, Cavalieri ja teised geomeetrid märkisid peagi, et selle kõvera ja x -teljed 0 kuni kuni on kuni 3/ 3 ja et kõvera puhul kehtib sarnane reegel Y = x 3- nimelt, et vastav ala on kuni 4/ 4. Siit ei olnud neil keeruline arvata, et kõveraaluse ala üldvalem Y = x n on kuni n +1/ ( n +1).
Kõverate puutujate leidmise probleem oli tihedalt seotud olulise probleemiga, mis tekkis Itaalia teadlase Galileo Galilei liikumise uurimisel, probleemiga leida osakese liikumiskiirus igal hetkel vastavalt mingile seadusele. Galileo kinnitas, et aastal t sekundit langeb vabalt langev keha kaugusele g t kaks/ 2, kus g on konstant (hiljem tõlgendab Newton seda gravitatsioonikonstandina). Keskmise kiiruse määratlemisel kui vahemaa aja kohta on keha keskmine kiirus vahemikus t kuni t + h antakse avaldisega [ g ( t + h )kaks/ 2 - g t kaks/ kaks] / h . See lihtsustab g t + g h / 2 ja seda nimetatakse vahe jagatiseks funktsioon g t kaks/ 2. As h läheneb 0-le, see valem läheneb g t , mida tõlgendatakse kui langeva keha hetkelist kiirust t .
mis on California pealinn
See liikumisavaldus on identne väljundiga, mis saadakse puutuja parabooli juurde f ( t ) = Y = g t kaks/ 2 punktis t . Selles geomeetrilises Sisu , väljend g t + g h / 2 (või selle ekvivalent [ f ( t + h ) - f ( t )] / h ) tähistab punkti ühendava eraldatud joone kalle ( t , f ( t )) lähedal asuvasse punkti ( t + h , f ( t + h )) ( vaata ). Aastal piir , väiksemate intervallidega h , läheneb eraldusjoon puutujajoonele ja selle kaldele punktis t .
Keskmise ja hetkelise muutumiskiiruse erinevuse illustreerimine f ( t ) näitab sekanti ( t , f ( t )) ja ( t + h , f ( t + h )) ja puutuja f ( t ) kell t . Ajaintervallina h läheneb nullile, sekundant (keskmine kiirus) läheneb puutujale (tegelik või hetkekiirus) ( t , f ( t )). Encyclopædia Britannica, Inc.
Seega saab erinevuse jagatust tõlgendada hetkelise kiirusena või kõvera puutuja kallakuna. See arvutus lõi selle sügava seose geomeetria ja füüsika vahel - protsessis, mis muutis füüsikat ja andis uue tõuke geomeetria uurimisele.
kus oli 30 aastat peetud sõda
Sõltumatult kehtestasid Newton ja Leibniz lihtsad reeglid kõvera puutuja kallaku valemi leidmiseks selle mis tahes punktis, andes ainult kõvera valemi. Funktsiooni muutumiskiirus f (tähistatud f ′) On tuntud selle nime all tuletis . Tuletisfunktsiooni valemi leidmist nimetatakse diferentseerumiseks ja selle tegemise reeglid moodustavad diferentsiaalarvutuse aluse. Sõltuvalt kontekstist võib tuletisi tõlgendada puutujajoontena, liikuvate osakeste kiiruste või muude suurustena ja selles peitub diferentsiaalarvutuse suur jõud.
Diferentsiaalarvutuse oluline rakendus on kõvera graafiline joonis, arvestades selle võrrandit Y = f ( x ). See hõlmab eelkõige graafikul kohalike maksimaalsete ja miinimumpunktide leidmist, samuti muutusi käändes (kumerast nõgusaks või vastupidi). Matemaatilises mudelis kasutatava funktsiooni uurimisel on sellistel geomeetrilistel mõistetel füüsikalised tõlgendused, mis võimaldavad teadlasel või inseneril kiiresti tunnetada füüsilise süsteemi käitumist.
Newtoni ja Leibnizi teine suur avastus oli see, et funktsioonide tuletiste leidmine oli täpses mõttes pöördvõrdeline kõverate alade leidmise probleemiga - põhimõte on nüüd tuntud kui arvutuse põhiteoreem . Täpsemalt avastas Newton, et kui funktsioon on olemas F ( t ), mis tähistab kõvera all olevat ala Y = f ( x ) alates näiteks 0 kuni t , siis selle funktsiooni tuletis võrdub selle intervalli algse kõveraga, F ′ ( t ) = f ( t ). Seega, et leida kõvera alune ala Y = x kaks0 kuni t , piisab funktsiooni leidmisest F nii et F ′ ( t ) = t kaks. Diferentsiaalarvutus näitab, et selline funktsioon on kõige üldisem x 3/ 3 + C , kus C on suvaline konstant. Seda nimetatakse funktsiooni (määramata) integraaliks Y = x kaksja see on kirjutatud kui ∫ x kaks d x . Esialgne sümbol ∫ on piklik S, mis tähistab summat ja d x tähistab muutuja või telje lõpmatult väikest juurdekasvu, mille kohal funktsioon summeeritakse. Leibniz tutvustas seda, sest mõtles integratsioon kõvera aluse ala leidmine lõpmatult paljude lõpmatult väikeste õhukeste ristkülikute pindalade liitmise teel x -telg ja kõver. Newton ja Leibniz avastasid selle integreeriv f ( x ) on samaväärne diferentsiaalvõrrandi lahendamisega - s.t funktsiooni leidmisega F ( t ) nii et F ′ ( t ) = f ( t ). Füüsikalises mõttes võib selle võrrandi lahendamist tõlgendada kui vahemaa leidmist F ( t ), mida rändab objekt, mille kiirusel on antud väljend f ( t ).
Arvestusega seotud arvestusharu integraalid on lahutamatu arvutus, ja selle paljude rakenduste hulgas on füüsiliste süsteemide töö leidmine ja rõhu arvutamine tammi taga etteantud sügavusel.
