Analüüs , matemaatika haru, mis tegeleb pidevate muutustega ja pidevate muutuste uurimisel tekkinud teatud üldiste protsessitüüpidega, nagu piirid, diferentseerumine ja integratsioon . Pärast seda, kui Isaac Newton ja Gottfried Wilhelm Leibniz 17. sajandi lõpul avastasid diferentsiaal- ja integraalarvutuse, on analüüs kasvanud tohutuks ja keskseks matemaatiliste uuringute valdkonnaks, rakendustega kogu teaduses ning sellistes valdkondades nagu rahandus, majandus ja sotsioloogia.
Analüüsi ajalooline algus võib leida katsetest arvutada ruumilisi suurusi, näiteks kõvera joone pikkus või kõveraga ümbritsetud ala. Neid probleeme võib nimetada üksnes matemaatilise tehnika küsimusteks, kuid neil on palju laiem tähtsus, kuna neil on füüsilises maailmas palju erinevaid tõlgendusi. Näiteks kõvera sees olev ala pakub maamõõtmisel otsest huvi: mitu aakrit sisaldab ebakorrapärase kujuga maatükk? Kuid sama tehnika määrab ka mõne valitud kõveraga piiratud ühtlase materjalilehe massi või ebakorrapärase kujuga pinna katmiseks vajaliku värvikoguse. Vähem ilmselgelt saab neid meetodeid kasutada erineva kiirusega liikuva sõiduki läbitud kogu vahemaa, laeva merre ujumise sügavuse või kogu kütuse leidmiseks tarbimine raketist.
Samamoodi saab antud punktis kõvera puutuja joone leidmise matemaatilist tehnikat kasutada ka kõvera mäe järsu või nurga arvutamiseks, mille kaudu liikuv paat kokkupõrke vältimiseks peab pöörduma. Vähem otseselt on see seotud ülimalt olulise hetkekiiruse või muude hetkekiiruste arvutamise küsimusega, näiteks sooja objekti jahutamine külmas ruumis või paljundamine haigusorganismi inimpopulatsiooni kaudu.
See artikkel algab lühikese sissejuhatusega analüüsi ajaloolisele taustale ja põhimõistetele nagu arvusüsteemid, funktsioonid, järjepidevus , lõpmatuid seeriaid ja piire, mis kõik on vajalikud analüüsi mõistmiseks. Selle sissejuhatuse järel on täielik tehniline ülevaade alates arvutusest kuni mittestandardse analüüsini ja seejärel lõpetatakse artikkel täieliku ajalooga.
normaalne õhurõhk merepinnal
Matemaatika jagab nähtused kahte laia klassi, diskreetseks ja pidevaks, vastates ajalooliselt jaotusele aritmeetika ja geomeetria . Diskreetseid süsteeme saab jaotada ainult seni ja neid saab kirjeldada täisarvude 0, 1, 2, 3,… abil. Pidevaid süsteeme saab jagada lõpmatuseni ja nende kirjeldamiseks on vaja tegelikke numbreid, koma laiendusega tähistatud numbreid, näiteks 3.14159…, mis võivad jätkuda igavesti. Selliste tegeliku olemuse mõistmine lõpmatu kümnendkohad asuvad analüüsi keskmes.
Diskreetse matemaatika ja pideva matemaatika eristamine on matemaatilise modelleerimise, loodusmaailma tunnuste matemaatilises vormis esitamise kunsti keskne teema. Universum ei sisalda ega koosne tegelikest matemaatilistest objektidest, kuid paljud universumi aspektid sarnanevad tihedalt matemaatiliste mõistetega. Näiteks number kaks ei eksisteeri füüsilise objektina, kuid kirjeldab olulist omadust sellistele asjadele nagu inimese kaksikud ja binaarsed tähed. Samamoodi pakuvad reaalarvud rahuldavaid mudeleid mitmete nähtuste jaoks, kuigi ühtegi füüsilist suurust ei saa täpselt mõõta üle kümnendkoha täpsusega. Pärismaailmas ei kehti lõpmata paljude kümnendkohtade väärtused, vaid deduktiivsed struktuurid, mida nad kehastavad ja võimaldavad.
Analüüs tekkis seetõttu, et paljusid loodusmaailma aspekte võib kasumlikult pidada pidevaks - vähemalt suurepärase ühtlustamisastmeni. Jällegi on küsimus modelleerimises, mitte tegelikkuses. Aine pole tõeliselt pidev; kui aine on jagatud piisavalt väikesteks tükkideks, siis ilmuvad jagamatud komponendid ehk aatomid. Kuid aatomid on äärmiselt väikesed ja enamiku rakenduste puhul käsitletakse ainet nii, nagu oleks see a pidevus toob sisse tühise vea, lihtsustades samal ajal arvutusi. Näiteks on pidev modelleerimine tavaline inseneripraktika vedelike, näiteks õhu või vee voolu, elastsete materjalide painutamise, elektrivool ja soojuse voog.
Kaks suurt sammu viisid analüüsi loomiseni. Esimene oli üllatusliku seose avastamine, mida nimetatakse arvestuse põhiteoreemiks, ruumiprobleemide vahel, mis hõlmavad mingi kogumahu või -väärtuse, näiteks pikkuse, pindala või mahu (integreerimine) arvutamist, ja muutuste kiirusega seotud probleemide vahel nagu puutujate ja kiiruste nõlvad (diferentseerumine). Krediidi põhiteoreemi sõltumatu avastamine umbes 1670. aastal koos selle teoreemi rakendamise tehnikate leiutamisega läheb ühiselt Gottfried Wilhelm Leibnizi ja Isaac Newtonile.
Kuigi kasulikkust arvutus füüsiliste nähtuste selgitamisel ilmnes koheselt, et selle lõpmatuse kasutamine arvutustes (kõverate, geomeetriliste kehade ja füüsiliste liikumiste lagunemise kaudu lõpmata paljudeks väikesteks osadeks) põhjustas laialdast rahutust. Eelkõige anglikaani piiskop George Berkeley avaldas kuulsa brošüüri, Analüütik; või truuduseta matemaatikule suunatud diskursus (1734), juhtides tähelepanu sellele, et vähemalt Newtoni ja Leibnizi esitatud arvutusel on tõsiseid loogilisi vigu. Analüüs kasvas välja saadud kergelt määratletud mõistete, näiteks funktsioon ja piirata.
Newtoni ja Leibnizi lähenemine arvutusele oli olnud peamiselt geomeetriline, hõlmates peaaegu nulljagajatega suhtarvusid - Newtoni voogude ja Leibnizi lõpmatute väikeste osadega. 18. sajandi jooksul muutus arvutus üha algebralisemaks, kuna matemaatikud - eriti šveitslane Leonhard Euler ja itaalia prantsuse keel Joseph-Louis Lagrange - hakkasid üldistama järjepidevuse ja piiride mõisted alates geomeetrilistest kõveratest ja kehadest abstraktsemate algebraliste funktsioonideni ning hakkasid neid ideid laiendama kompleksarvudele. Ehkki need arengud ei olnud fundamentaalsest seisukohast täiesti rahuldavad, olid need 19. sajandil prantslase Augustin-Louis Cauchy, böömlase Bernhard Bolzano ja ennekõike sakslase Karl Weierstrassi lõpliku kalkuleerimismäära täpsustamisel põhimõttelised.
Copyright © Kõik Õigused Kaitstud | asayamind.com
